複合オプティクス：プロ関手作用のための双圏論的枠組み

目次

1. 序論

圏論と関数型プログラミングの文脈におけるオプティクスは、複雑なデータ構造の一部にアクセスし更新するための原理的な方法を提供する。単純オプティクスはモノイド作用を用いて単一の圏論的枠組み内で動作するが、多項式関手を含む最近の発展により、より一般的な理論が必要とされている。本論文では複合オプティクスを導入する。これは、双圏、特にプロ関手の双圏（Prof）の前層の圏への作用を用いて枠組みを一般化するものである。この統一化により、多項式関手間の自然変換から生じるオプティクスをエレガントに捉えることができる。

2. 単純オプティクス

オプティクスの基礎は、作用圏の概念に基づいて構築されている。

2.1 作用圏とモノイド作用

作用圏は、モノイド圏 $\mathcal{M}$ の圏 $\mathcal{C}$ への作用によって定義され、$\bullet : \mathcal{M} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ と表記される。これはモノイド関手 $\bullet: \mathcal{M} \to [\mathcal{C}, \mathcal{C}]$ と見なすことができる。

2.2 混合分散作用と余極限

二つの作用 $\bullet_1: \mathcal{M} \to [\mathcal{C}, \mathcal{C}]$ と $\bullet_2: \mathcal{M} \to [\mathcal{D}, \mathcal{D}]$ が与えられたとき、これらは積圏 $\mathcal{C}^{\text{op}} \times \mathcal{D}$ 上の混合分散作用へと組み合わせることができる。ホム集合はこれらの作用に沿って拡張され、余極限を用いて $\mathcal{M}$ 上で平均化すると、単純な（混合）オプティクスの標準形が得られる：

$$O\langle a,b \rangle\langle s,t \rangle = \int^{m:\mathcal{M}} \mathcal{C}(s, m \bullet_1 a) \times \mathcal{D}(m \bullet_2 b, t)$$

ここで、$\langle a, b \rangle$ は「焦点」を、$\langle s, t \rangle$ は「全体オブジェクト」を表す。

2.3 オプティクスの圏

これらのオプティクスは圏 $\mathbf{Opt}$ のホム集合を形成し、その対象は対 $\langle a, b \rangle$ である。

3. 双圏

双圏は、2-セル（1-セル間の射）を導入し、厳密な等式を整合的な同型に緩めることで、圏論を一般化する。

3.1 定義と例

双圏 $\mathcal{B}$ は、0-セル（対象）、1-セル（対象間の矢印）、2-セル（1-セル間の矢印）から構成される。任意の0-セルの対 $i, j$ に対して、1-セルはホム圏 $\mathcal{B}(i, j)$ を形成する。典型的な例は $\mathbf{Cat}$ であり、圏を0-セル、関手を1-セル、自然変換を2-セルとする。

3.2 モノイド圏としての双圏

単一対象の双圏は、モノイド圏と等価である。その1-自己セルはモノイド圏の対象であり、合成はテンソル積であり、2-セルは射である。

3.3 擬関手

双圏間の擬関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ は、双圏の構造を厳密にではなく、整合的な同型まで保存する写像である。

4. 双圏作用による複合オプティクス

重要な洞察は、複合オプティクスにおける焦点と複合オブジェクトの関係は、単一のモノイド作用（作用圏）によってではなく、双圏の作用によって最もよく記述されるという点である。本論文は、双圏 $\mathbf{Prof}$（圏、プロ関手、自然変換の双圏）の前層の圏への作用を用いて複合オプティクスを定義することを提案する。これらのオプティクスの合成はKan拡張を通じて説明され、それらの連鎖的振る舞いに対する堅牢な圏論的基盤を提供する。

5. 多項式オプティクス：特殊ケースとして

複合オプティクスの理論は、多項式オプティクスを含む。多項式関手間の自然変換として生じるオプティクス（先行研究では「個眼」として表現されたもの）は、一般的な双圏論的枠組みの特定のインスタンスであることが示される。作用する双圏が $\mathbf{Prof}$ であり、作用される圏が前層の圏である場合、結果として得られる複合オプティクスは、これらの多項式に基づくオプティクスに正確に対応する。

6. 技術的詳細と数学的枠組み

中核的な技術的貢献は、双圏作用とKan拡張を用いたオプティクスの定式化である。双圏 $\mathcal{B}$ が圏 $\mathcal{X}$ に作用し、焦点が圏 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ にグループ化されているとき、複合オプティクスはある種のKan拡張積分として定義できる：

$$\text{Optic}((A,B), (S,T)) \cong \int^{M \in \mathcal{B}} \mathcal{X}(\alpha(M, A), S) \times \mathcal{X}(T, \beta(M, B))$$

ここで、$\alpha$ と $\beta$ は双圏の両側作用を表す。これは、モノイド圏 $\mathcal{M}$ を双圏 $\mathcal{B}$ で置き換え、作用 $\bullet_1, \bullet_2$ を双圏構造を尊重するより一般的な双関手 $\alpha, \beta$ で置き換えることで、単純オプティクスの公式を一般化する。

7. 分析的枠組み：中核的洞察と論理的展開

中核的洞察： Milewskiの論文は、レンズ理論への単なる漸進的な改良ではなく、合成可能なデータアクセサのための圏論的「オペレーティングシステム」全体の戦略的アップグレードである。モノイド的作用圏から双圏作用への移行は、単一スレッドのプロセスから並行・ネットワーク化されたシステムへ一般化することに類似している。核心的な賭けは、現代のデータ構造（ネストされたコンテナ、依存型、グラフスキーマなど）の真の複雑さは本質的に多次元的であり、「文脈」（$\mathcal{M}$ または $\mathcal{B}$）自体が豊かで合成的な実体である枠組みを必要とするという点にある。これは、双圏とプロ関手が、開いたシステムやリソースを意識した計算の共通言語となりつつある応用圏論の潮流（カテゴリカル量子力学やオプティクスのためのCoqライブラリの研究に見られるように）と一致する。

論理的展開： 議論は外科手術的な精度で進む。まず、旧来の体制の限界を確立する：モノイド作用に基づいて構築された単純オプティクスは、多項式関手や異種オプティクスの合成において壁にぶつかる。診断は、モノイド圏 $\mathcal{M}$ が複合焦点の分離した相互作用する文脈をモデル化するには「平坦」すぎるという点にある。処方箋は双圏であり、これら相互作用を追跡するために必要な2次元構造を提供する。概念実証はエレガントである：プロ関手の双圏 $\mathbf{Prof}$ が前層に作用すると、以前はアドホックだった多項式オプティクスの「個眼」が自然に生じることを示す。論理的な頂点は統一化である：異なる種（レンズ、プリズム、多項式オプティクス）として見られていたものが、異なるパラメータの下での同じ双圏論的「属」の現れであることが明らかになる。

8. 長所、欠点、実践的示唆

長所：

1. 統一力： この枠組みは、多項式オプティクスと異種合成をうまく包含し、概念的断片化を軽減する。
2. 数学的堅牢性： 双圏、プロ関手、Kan拡張といった確立された概念を活用することで、理論的な健全性が保証され、膨大な知識体系と接続される。
3. 将来性： 双圏論的定式化は本質的に表現力が高く、新興のデータ構造パラダイム（例えば、方向性のある型依存性や効果的文脈を含むもの）のためのオプティクスをモデル化する準備ができている。

1. 計算の扱いやすさ： 本論文は存在証明と普遍性に重きを置き、アルゴリズム的洞察が軽視されている。これらの複合オプティクスを効率的に計算するにはどうすればよいか？余極限/Kan拡張の定式化は、実装者にとって扱いにくいほど抽象的になりうる。関数型コードに直接マッピングされるVan Laarhovenレンズの具体的表現と対照的である。
2. 実証的検証の欠如： この一般化された枠組みが、より単純なオプティクスでは解決できない現実世界のソフトウェア工学上の問題を解決することを示すケーススタディやベンチマークがない。これがないと、実践家にとっては問題を探す解決策になりかねない。
3. 急峻な学習曲線： 双圏論と余極限計算の前提知識は大きく、圏論的意味論を専門とする学術界の外での採用を制限する可能性がある。

1. ライブラリ設計者向け： 次世代のオプティクスライブラリ（例えば、Haskellの`lens`やScalaの`monocle`）を設計するための指針として本論文を活用せよ。一般的なケースでは単純オプティクスに優雅にフォールバックしつつ、一般的な枠組み内で多項式オプティクスや合成オプティクスをネイティブに扱える「双圏論的バックエンド」のプロトタイピングを開始せよ。
2. 研究者向け： 最も緊急の次のステップは具体化である。実用的なライブラリを生み出した元の「レンズ」論文の道筋を辿れ。複合オプティクスのための標準的で具体的な表現（おそらく一般化されたvan Laarhoven形式）を開発し、双圏論的仕様からこの表現へのコンパイラを提供せよ。
3. 実践家向け： この研究の流れを注視せよ。直ちに実践可能ではないが、高度な関数型プログラミング抽象化の方向性を示している。今それを理解することは、堅牢で将来互換性のあるシステムを設計する上で競争優位性を提供する。

9. 将来の応用と研究の方向性

オプティクスのための双圏論的枠組みは、いくつかの有望な方向性を開く：

1. 依存型のためのオプティクス： 依存型付き言語（AgdaやIdrisなど）におけるレンズとプリズムのモデル化は困難である。プロ関手に基づく双圏論的アプローチは、型が値に依存しうるこれらの設定において、オプティクスのためのよりクリーンな意味論的基盤を提供できる可能性がある。
2. 効果システムとの統合： 作用する双圏は、効果的計算の圏（例えば、モナドの双圏）で具体化できる可能性がある。これにより、I/O、状態、非決定性が存在する状況でのアクセスと更新を扱う「効果的オプティクス」の統一理論につながる可能性がある。
3. データベースビュー更新： データベースにおけるビュー更新問題はレンズの古典的応用である。複合オプティクスは、複数のテーブルにわたる結合（多項式的構造）を含むより複雑なビュー定義をモデル化し、更新伝播の正しさに対する圏論的証明を提供できる可能性がある。
4. 機械学習と微分可能プログラミング： PyTorchやJAXのようなフレームワークに見られるように、複雑なテンソルや計算グラフの一部へのアクセスと操作は重要である。一般化されたオプティクス枠組みは、そのような操作のための原理的で合成的なAPIを提供し、双圏が計算グラフ自体の構造を捉えることができる。
5. 双方向変換（BX）： 異なるデータ表現間の同期器を研究するBX分野は、レンズと深い関係がある。この複合オプティクス枠組みは、複雑なスキーマにわたる多方向同期のための、新しくより合成的な構成を提供できる可能性がある。

10. 参考文献

1. Boisseau, G., & Gibbons, J. (2018). What You Needa Know about Yoneda: Profunctor Optics and the Yoneda Lemma. Proceedings of the ACM on Programming Languages.
2. Riley, M. (2018). Categories of optics. arXiv preprint arXiv:1809.00738.
3. Loregian, F. (2021). Coend Calculus. Cambridge University Press.
4. Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media.
5. Pickering, M., Gibbons, J., & Wu, N. (2017). Profunctor optics: Modular data accessors. Art Science and Engineering of Programming.
6. Spivak, D. I. (2020). Polynomial functors and ommatidia. arXiv preprint arXiv:2006.16941.
7. Nester, C. (2022). Bicategories in Functional Programming: A Survey. Journal of Functional Programming.
8. Abramsky, S., & Coecke, B. (2004). A categorical semantics of quantum protocols. Proceedings of the 19th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science.
9. Haskell `lens` library documentation and source code. https://hackage.haskell.org/package/lens
10. nLab community wiki. Entries on Bicategory, Profunctor, Optic. https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage